TEMA+DE+FISICA-+VECTORES

0 //**historia de calculo** // Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: **Origen** O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. **Módulo** Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. **Dirección** Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. **Sentido** Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de [|acción] se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el [|sistema] de referencia de los [|vectores], que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas. 

Para [|poder] representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.  <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Magnitudes Escalares** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Masa** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Temperatura** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Presión** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Densidad** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Magnitudes vectoriales** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un [|valor] numérico, una [|dirección], un sentido y un punto de aplicación. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Vector** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">
 * <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Un origen o punto de aplicación: A.
 * <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Un extremo: B.
 * <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Una dirección: la de la recta que lo contiene.
 * <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.
 * <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Vectores iguales** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Vector libre** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Descomponiendo en un sistema de ejes cartesianos** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**a**+**b**=(ax**i+**ay**j**+ az**k**)+(bx**i**+by**j**+ bz**k**)=(ax+bx)**i**+(ay +by)**j**+(az+bz)**k** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Propiedades** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Conmutativa: **a**+**b**=**b**+**a** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Asociativa: (**a**+**b**)+**c**=**a**+(**b**+**c**) <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Elemento Neutro: **a**+0=**a** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Elemento Simétrico: **a**+(-**a**)=**a**-**a**=0 <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Vectores unitarios y componentes de un vector** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Suma y resta de vectores** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el [|proceso] es idéntico. Basta con aplicar la [|propiedad] asociativa. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Suma de Vectores** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Procedimiento Gráfico** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente [|dibujo]: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

//<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la [|suma de vectores]), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores. // <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Método Algebraico para la Suma de vectoresDados tres vectores** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">La expresión correspondiente al vector suma es: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">o bien <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">siendo, por tanto, <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">La suma de vectores goza de las siguientes propiedades: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Conmutativa** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">a + b = b + a <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Asociativa** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">(a + b) + c = a + (b + c) <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Elemento neutro o vector 0** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">a + 0 = 0 + a = a <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Elemento simétrico u opuesto a'** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">a + a' = a' + a = 0 <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">a' = -a <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Producto de un vector por un escalar** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">El resultado de multiplicar un escalar **k** por un vector **v**, expresado analíticamente por **kv**, es otro vector con las siguientes características : <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">1.- Tiene la misma dirección que **v**.2.- Su sentido coincide con el de **v**, si **k** es un número positivo, y es el opuesto, si **k** es un número negativo.3.- El módulo es **k** veces la longitud que representa el módulo de **v**. ( Si **k** es 0 el resultado es el vector nulo). <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Ejemplo : Dado el vector **v** de componentes : **vxi + vyj + vzk**, el [|producto] 3 · **v =** 3 **· vxi +** 3 **· vyj +** 3 **· vzk.** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Ejemplo : <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Propiedades** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Producto escalar de dos vectores** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como **r · v**, se obtiene de la suma de los [|productos] formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores **r** y **v**, expresados en un mismo sistema de coordenadas: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**r** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**rxi + ryj + rzk****v** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**vxi + vyj + vzk** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores : <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**i** · **i** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**j** · **j** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**k** · **k** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">1**i** · **j** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**i** · **k** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**j** · **k** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">0 <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">el resultado de multiplicar escalarmente **r** por **v** es: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**r** · **v** =**rx· vx + ry · vy+ rz · vz**<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Esta operación no solo nos permite el [|cálculo] de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en [|función] de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula :**r** · **v** =
 * r|** · **|v| ·** cos (**r**, **v**) <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Propiedades** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Conmutativa : **r · v** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**v · r**Distributiva : **r** · ( **v** + **u** ) <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**r · v + r · u**Asociativa : ( **k · r** ) · **v** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**k ·** ( **r · v** ) <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">r · ( **k · v** ) siendo **k** escalar. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Además : <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">1.- **r · r** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">0 si, y sólo sí **r** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">0.2.- Si **r** y **v** <> 0 y **r · v** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">0, esto implica que los vectores son perpendiculares, (cos 90º <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">0).3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Ejemplo : <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Proyección ortogonal (rv**) de **r** sobre **v** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**rv**= |r| cos (r, v) -> **r · v** = **|v| · rv** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Producto vectorial** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">El producto vectorial de los vectores **a** y **b**, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de **a** y **b**, en el sentido del [|movimiento] de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de **a** a **b,** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">donde **n** es un vector unitario perpendicular al plano de **a** y **b** en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha de **a** a **b**. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Propiedades: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Módulo de un vector** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Si tomamos tres vectores unitarios, **i** sobre OX, **j** sobre OY y **k** sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de **a** es: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**III. Ecuación De La Recta.** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Ecuación de la Recta** **Que Pasa Por El Origen** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Como los [|triángulos] OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó **y = mx (1)**La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Trácese por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente **m** y su intercepto **b** con el eje y. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">..

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">y = mx + b (1) <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Como P1(x1, y1), entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene: //<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">y1 = mx1 + b (2) // <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">y – y1 = m(x – x1) (3) <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">y = mx + (y1 – mx1). <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Lo que indica que él intercepto b con el eje y viene dado por: //<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">b = y1 – mx1 // <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">.. **Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">y – y1 = m1 (x – x1) (1) <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">representa la ecuación de dicha recta. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Ahora, como el punto P2(x2, y2), entonces satisface su ecuación <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Ecuación segmentaría de la línea recta** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Considere la recta l de la cual conocemos los interceptó a y b con los ejes x e y respectivamente** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la línea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1) <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y) <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Ecuación general de la línea recta** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">.... **La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las [|variables] x e y.** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">..La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas [|ecuaciones] son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la **ecuación general** de la línea recta, como lo afirma el siguiente teorema <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**TEOREMA** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1), R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una línea recta. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**Demostración** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">i. Se puede Considerar varios casos: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">A = 0, B diferente de 0. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">La ecuación (2) representa una línea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**ii.** En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">La ecuación (3) representa una línea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**iii. ** En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">

<span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">La ecuación (4) representa una línea recta, cuya pendiente es y cuyo intercepto con el eje y viene dado por <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">**observaciones** <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">i. Es posible escribir la ecuación general de la línea recta en varias formas, de tal manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes: <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo dos <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">constantes independientes, por ejemplo en (1A) <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">iii. Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general Ax + By + C = 0, su pendiente ó **coeficiente angular con respecto al eje x**, m viene dado por y su **coeficiente angular n**, con respecto al eje y <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">viene dado por. <span style="background-color: #bcd6fb; color: #0904fb; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">Los coeficientes A y B se denominan **coeficientes directores de la recta.**