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//DE CÓMO SE GESTÓ Y VINO AL MUNDO EL CÁLCULO INFINITESIMAL// //**N e w t o n L e i b n i z**//  //( 1 642 - 1 727 ) ( 1 646 - 1 716)//   //Del legado de las [|matemáticas], el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la [|naturaleza]. El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que [|Arquímedes] realizó en el siglo III a.C. Aunque hubo que esperar mucho [|tiempo], hasta el siglo XVII, ¡2000 años!, para que apareciera -o mejor, como [|Platón] afirmaría, para que se descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso.// //Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un sistema de numeración adecuado -en este caso el decimal- así como del [|desarrollo] del [|álgebra] simbólica y la [|geometría] analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió principalmente en el siglo XVII.// //Ya los griegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya se vislumbra de algún modo en la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos.// //Ese alguien fue [|Aristóteles]. Lo que hizo fue prohibir el infinito en acto "no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio", escribió, pero añadió "es claro que la negación absoluta del infinito es una [|hipótesis] que conduce a consecuencias imposibles" de manera que el infinito "existe potencialmente [...] es por adición o división". Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Fue Eudoxio, discípulo de [|Platón] y contemporáneo de Aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. Eudoxio postuló que "toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada". Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxio y que sirvió a aquél para superar la primera [|crisis] de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.// //No obstante, fue Arquímedes el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente su [|método] se perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo -recordemos que su original método "mecánico" donde además se saltaba la prohibición aristotélica de usar el infinito in acto se perdió y solo fue recuperado en 1906 ... La genial idea del siracusano fue considerar las áreas como una colección -necesariamente infinita- de segmentos. Habrá que esperar 2000 años hasta que otro matemático -en este caso Cavalieri- volviera a usar de esa manera los infinitos. De hecho Leibniz descubrió la clave de su cálculo al ver un [|trabajo] de [|Pascal] donde éste usaba un método semejante.//  //La necesidad de entender obras griegas difíciles como las de Arquímedes tuvo gran influencia en el nacimiento del cálculo. -ya en el siglo XVII se habían recuperado y se dominaban la mayoría de las obras griegas.// //También ayudó al surgimiento del cálculo el [|cambio] de [|actitud] en la [|matemática] del siglo XVII quizá influenciada por los grandes descubrimientos de todo tipo -geográficos, científicos, médicos y tecnológicos- que fue el [|interés] de los [|matemáticos] por descubrir más que por dar [|pruebas] rigurosas. Ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitaciones aristotélicas. Y finalmente, el descubrimiento de la [|Geometría analítica] de [|Descartes] y Fermat.// //La primera parte del siglo XVII vio el nacimiento de la [|geometría] analítica de Fermat y Descartes. La importancia de este descubrimiento consiste en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de [|problemas] geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica. De esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo -basta saber calcular las [|derivadas] como ahora sabemos- frente a los engorrosos, y específicos para cada curva, [|procedimientos] geométricos.//  //Como ya mencionamos, en el siglo XVII los matemáticos perdieron el miedo a los infinitos que los griegos les habían tenido: Kepler y Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. El primer paso importante se debe a Cavalieri -discípulo de Galileo-. Cavalieri considera áreas formadas por segmentos y volúmenes formados por trozos de áreas planas redescubriendo las bases metodológicas del método mecánico -y desconocido en aquella época- de Arquímedes. Cavalieri incluso fue más allá intentando construir una [|teoría] de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos, demostrar rigurosamente sus resultados -cosa que no consiguió ya que el infinito en acto siempre acababa apareciendo en alguna parte-. Las desventajas de su método de indivisibles -poca generalidad, debilidad [|lógica], excesivos razonamientos y procedimientos geométricos- fueron rápidamente superados por Torricelli, Fermat, Pascal, Wallis y Roberval.// //Otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin duda, Grégoire de Saint-Vicent, jesuita discípulo de Clavius. Sus principales aportaciones las publicó en su **Opus geometricum**. En ella desarrolla un método de [|integración] geométrico, estudia las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, como no, la conocida aporía de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además resolvía magistralmente argumentando que Zenón no consideró en la persecución de Aquiles que el tiempo formaba una progresión geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga. Una de las aportaciones más valiosas de Saint-Vicent consistió en su hallazgo de que el área encerrada bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos.// //Nuestro próximo personaje es John Wallis, miembro fundador de la Royal Society de Londres y editor de obras de Arquímedes que además escribió una [|Gramática] inglesa. Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles [|valores] numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos aritméticos más un primitivo proceso de límite haciendo además un uso "descarado" del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos actualmente, ese 8 acostado-.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Es curiosa la opinión que él mismo profesaba de sus [|métodos]: "Este [|procedimiento] es altamente heterodoxo, pero puede verificarse mediante el bien conocido método de figuras inscritas y circunscritas, lo que es superfluo, porque la frecuente iteración produce náuseas al lector. Cualquier ducho en la [|materia] puede realizar la prueba", escribió en su Arithmetica infinitorum. Usando su método aritmético, la [|inducción] incompleta, y su intuición llegó a calcular el área de todas las parábolas generalizadas x ^ r con r racional excluyendo al 1, además de una bellísima fórmula para calcular Pi.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//El trabajo de Wallis influyó enormemente en [|Newton] quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo se originaron en su estudio del [|libro] de Wallis en la época de estudiante en Cambridge.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//El mismo Wallis propone una genealogía del cálculo:// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Método de exhausión (Arquímedes)// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Método de los indivisibles (Cavalieri)// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Aritmética de los infinitos (Wallis)// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Métodos de las series infinitas (Newton)// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> //Dediquemos algún tiempo a comentar los métodos infinitesimales relacionados con el cálculo de tangentes, que junto al de áreas constituyeron la base del cálculo. En la parte central del siglo XVII, las cantidades infinitesimales, los [|fantasmas] de cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. Como hemos mencionado Saint Vincent, Pascal, Wallis, ... siguieron los pasos de Kepler y Cavalieri; además de los infinitésimos cada vez se usaban más fórmulas y menos [|dibujos]: la geometría analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el [|análisis]. Si Isaac Barrow, el maestro de Newton en Cambridge la hubiera estudiado bien, podría haber arrebatado a su discípulo el descubrimiento del cálculo. En efecto, la geometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvas geométricas. Este incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos para calcular tangentes. Uno de ellos fue el método de adigualdades de Pierre Fermat que servía además para calcular máximos y mínimos. Esto unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor a un puesto de honor como precursor del cálculo. Newton, en una [|carta] descubierta en 1934, escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: "La indicación me la dio el método de Fermat para las tangentes. Aplicándolo a las ecuaciones abstractas directa e inversamente, yo lo hice general".// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del S.XVII el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. El primero en plantear un problema de este tipo fue Florimond de Beaune, discípulo de Descartes, quien planteó, entre otros, el problema de encontrar la curva con subtangente constante. El propio Descartes lo intentó sin [|éxito] siendo Leibniz el primero en resolverlo en la primera publicación de la "historia sobre el cálculo infinitesimal". De hecho un elemento esencial para el descubrimiento del cálculo fue el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos; es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy llamamos Teorema fundamental del cálculo.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> //Newton en su célebre frase "Si he llegado a ver más lejos que otros es por que me subí en hombros de gigantes" se refiere entre otros a su maestro y mentor Isaac Barrow. Barrow fue probablemente el científico que estuvo más cerca de descubrir el cálculo. Llegó a las matemáticas en su afán de comprender la teología -de hecho se marchó de su cátedra en Cambridge, cediéndosela a Newton para continuar sus estudios teológicos-. En la lección X de su obra Letiones opticae & geometricae Barrow demuestra su versión geométrica del Teorema fundamental del cálculo.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> //En el último cuarto del siglo XVII, Newton y Leibniz, de manera independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas de derivación- y mostraron que ambos conceptos eran inversos- Teorema fundamental del cálculo-: acababa de nacer el cálculo infinitesimal. Para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes, centros de gravedad, etc. que habían ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//El primero en descubrirlo fue Newton, pero su fobia por publicar le hizo guardar casi en secreto su descubrimiento. Newton gestó el cálculo en sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia de peste que asolaba [|Inglaterra]. De hecho su primera obra sobre el cálculo, De analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711. La segunda obra de Newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaría hasta 1737 para ver la [|luz] !diez años después de su [|muerte] y 66 después de escrita!. Se trata de De methodis serierum et fluxionum.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//En ella Newton describe sus conceptos de fluente -es una variable en función del tiempo- y fluxión de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades propias, con unas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos problemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas -en relación a este último, estableció el ya mencionado Teorema fundamental del cálculo-. Para demostrar la [|potencia] de su cálculo Newton se dedica en unas "pocas" páginas a resolver todos los problemas de cálculo de tangentes, áreas, etc. que habían ocupado a sus predecesores.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Una pregunta que casi inmediatamente aflora en la mente es ¿por qué Newton tardó tanto en publicar sus resultados? A parte de su peculiar [|personalidad] y las distintas disputas que tuvo con muchos de sus contemporáneos, Newton era consciente de la débil fundamentación lógica de su método de cálculo de fluxiones -no obstante siempre hubo copias de sus trabajos circulando entre sus amigos-.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Este temor también está patente en su obra cumbre: Los Principia, donde optó por un [|lenguaje] geométrico más riguroso -y oscuro- eliminando todo indicio de su cálculo que probablemente usó -se puede encontrar una única mención del mismo en el lema II de la sección II del libro II: la regla para derivar productos-.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> //Leibniz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibniz fue el primero en publicar el invento. Lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas, el Acta Eroditorum, que el mismo había ayudado a fundar -eran ciertamente momentos importantes para [|la ciencia] donde empezaron a aparecer las revistas científicas que permitirían luego y hasta nuestro días la difusión del [|conocimiento] y los descubrimientos científicos-. Durante una estancia en París -ya que era un afamado diplomático- Leibniz conoce a Huygens quien le induce a estudiar matemáticas.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//En 1673, luego de estudiar los [|tratados] de Pascal, Leibniz se convence que los problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes. Alejándose de estos problemas, a partir de sumas y diferencias de [|sucesiones] comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo por el año 1680 y a diferencia de Newton si lo publica en las mencionadas Actas con el título "Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular [|género] de cálculo para estos problemas". En este artículo de 6 páginas -e incomprensible como él mismo luego reconoce- Leibniz recoge de manera esquemática sin demostraciones y sin ejemplos su [|cálculo diferencial] -"un enigma más que una explicación" dijeron de él los hermanos [|Bernoulli].// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//También Leibniz resuelve el ya mencionado problema de De Beaune encontrando que la solución era el logaritmo. El siguiente artículo de Leibniz se llamó "Sobre una geometría altamente oculta y el análisis de los indivisibles e infinitos", también publicado en las Actas Eroditorum en 1686. En él aparece por primera vez la notación para la integral que todavía hoy usamos -en el primero introduce la notación "dx" para la diferencial-.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> //Como colofón a estas páginas dedicaremos unas líneas a tratar la mayor de todas las disputas que ha conocido la [|ciencia]: la prioridad de la invención del cálculo. Las suspicacias entre Newton y Leibniz y sus respectivos seguidores, primero sobre quién había descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo había copiado del otro, acabaron estallando en un [|conflicto] de prioridad que amargó los últimos años de ambos genios. Para comenzar diremos que la disputa fue evitable pues los métodos de ambos genios tienen importantes diferencias conceptuales que indican claramente la génesis independiente de los mismos. Newton consideraba las curvas generadas por el movimiento continuo de un punto basándose su cálculo diferencial en la medida de la variación de la misma -de su fluir- mientras que Leibniz consideraba una curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales. Incluso la fundamentación de ambos métodos es totalmente distinta. Si el de Newton fue resuelto totalmente mediante el [|concepto] de límite, el de Leibniz tuvo que esperar hasta la década 1960-70 hasta la aparición del Análisis no-estándard de Abrahan Robinson.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//La polémica en cuestión se fraguó a finales del siglo XVII: por un lado Leibniz no había hecho ninguna alusión al cálculo infinitesimal de Newton -que el mismo Newton le había indicado que existía en sus Epistolae : Expistola prior y posterior, sendas [|cartas] dirigidas a Leibniz. En ambas Newton explica muy someramente -básicamente se centra en el teorema del binomio- su método de cálculo.- Además en Holanda -como le aseguró Wallis a Newton- se atribuía el cálculo a Leibniz, eso sin contar que los discípulos de Leibniz habían publicado el primer libro sobre el cálculo: el Analyse des infiniment petits que redactó el Marquéz de L'Hospital a partir de las clases particulares que le dio Juan Bernoulli.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//La respuesta de los seguidores de Newton no se hace esperar. Primero el propio Newton hace publicar en el tercer [|volumen] de las obras matemáticas de Wallis la correspondencia cursada con Leibniz, las Epistolas prior y posterior donde éste pedía a Newton le enviase resultados sobre series, luego Fatio de Duillier, amigo de Newton, acusa a Leibniz de haber plagiado a Newton y como no, en su ya mencionada De quadratura curvarum, Newton alega "En una carta escrita al Sr. Leibniz en 1676 y publicada por Wallis, mencionaba un método por el cual había encontrado algunos teoremas generales acerca de la cuadratura de figuras curvilíneas [...] Hace años presté un manuscrito conteniendo tales teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas de él, lo hago público en esta ocasión". La respuesta de Leibniz no se hizo esperar.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//En una reseña del De quadratura curvarum, publicada anónimamente -aunque era fácil reconocer a su autor: Leibniz - en 1705 en las Actas se dice "Para entender mejor este libro los siguientes hechos deben ser conocidos. Cuando una cantidad varía continuamente como, por ejemplo, una línea varía por el fluir de un punto que la describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados diferencias [...] Y por tanto ha aparecido el cálculo diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. Los elementos de este cálculo han sido publicados por su inventor el Dr. Gottfried Wilhelm Leibniz en estas Actas, y sus varios usos han sido mostrados por él y por los Drs. y hermanos Bernoulli y por el Dr. Marquéz de L'Hospital. En vez de las diferencias leibnizianas, el Dr. Newton empleó, y ha empleado siempre, fluxiones". Esta reseña fue el detonante del mayor ataque contra Leibniz desde las Philosophical Transactions firmado por John Keill quien acusa abiertamente a Leibniz de plagio. Tras la protesta de Leibniz la Royal Society nombra una comisión -que resultó estar plagada de amigos de Newton - que luego de varias deliberaciones dictaminó que Newton fue el primero y no acusó a Leibniz - aunque tampoco rectificó las duras palabras de Keill-. Esta absurda [|guerra] duró hasta [|principios] del siglo XIX cuando finalmente los matemáticos ingleses deciden adoptar la notación leibniziana, que hasta el momento habían ignorado.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;"> //Como apéndice a nuestra [|exposición] vamos a relatar, a modo de realzar la gran potencia del cálculo, uno de los problemas que se resolvió gracias a la nueva herramienta descubierta por Newton y Leibniz: el problema de la braquistocrona. El problema consistía en determinar la curva por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no estén en posición vertical u horizontal. Este problema ya interesó en su día a Galileo aunque éste fue incapaz de resolverlo -lo cual no es raro pues para ello se precisaba del cálculo-. La historia es como sigue.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//En el número de junio de 1696 de las Actas Eroditorum, Juan Bernoulli lanzó un reto a los mejores matemáticos del mundo. En realidad era un reto encubierto a Newton. Al cabo del año -el plazo original fue de seis meses pero a petición de Leibniz se amplió para que tuvieran tiempo los matemáticos franceses e italianos que se habían enterado tarde- aparecieron cinco [|soluciones]: una de Leibniz, una del mismo Juan Bernoulli, otra de su hermano Jacobo Bernoulli, una del Marquéz de L'Hospital y una anónima. Todas, excepto la de L'Hospital daban con la solución: la cicloide. ¿Quién era ese autor anónimo que escogió las Philosophical Transactions para publicar su genial solución que sólo contenía 67 palabras?. Un vistazo a la solución fue suficiente para que Juan Bernoulli exclamara "tanquam ex ungue leonen", algo así como "¡reconozco al león por sus garras!" pues claro está que era Newton. Años más tarde se aclaró toda la historia. Como ya dijimos el reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses y a Newton en particular justo en el momento en que comenzaba la polémica sobre la prioridad para ver si el cálculo de Newton era tan bueno y poderoso para resolverlo. Además, en una carta de Leibniz a Juan Bernoulli éste conjetura que sólo quien conozca el cálculo podrá resolverlo -Newton entre ellos claro está-. Como no podía ser de otra forma el reto llegó a Newton aunque por aquel entonces ya no "hacía ciencia" sino que trabajaba en la Casa de la Moneda inglesa. Según cuenta la sobrina de Newton, este recibió el problema a las 4 de la tarde cuando regresó cansado de la Casa de la Moneda y tenía lista su solución 12 horas después -aunque lo que probablemente no sabía la sobrina era que Newton ya había pensado en ese problema unos años antes y que casi [|seguro] lo había resuelto por lo que sólo tuvo que refrescar [|la memoria] ese día-. Nuevamente aparece la misma pregunta: Si Newton ya había resuelto el problema ¿por qué no lo publicó? Como respuesta final a esta pregunta tomaremos la que dió Augusto de Morgan "Cada descubrimiento de Newton tenía dos aspectos. Newton tuvo que hacerlo y, luego, los demás teníamos que descubrir que él lo había hecho"// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//**V. Definición del calculo vectorial**// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//El **cálculo vectorial** es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie de fórmulas y [|técnicas] para solucionar problemas muy útiles para la [|ingeniería] y la [|física].// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la [|temperatura] de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del [|agua] en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de [|velocidad].// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Cuatro [|operaciones] son importantes en el cálculo vectorial:// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//**BIOGRAFIAS**// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//**SIR ISAAC NEWTON**// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Isaac Newton nació el día de [|Navidad] del antiguo calendario en 1642 (correspondiente al 4 de Enero de 1643 del nuevo calendario), año en que moría Galileo, en el pueblecito de Woolsthorpe, unos 13 Km. al sur de Grantham, en el Lincolnshire. Fue un niño prematuro y su padre murió antes de su nacimiento, a los treinta y siete años. Isaac fue educado por su abuela, preocupada por la delicada [|salud] de su nieto. Su madre, [|mujer] ahorrativa y diligente, se casó de nuevo cuando su hijo no tenía más que tres años. Newton frecuentó la [|escuela] del lugar y, siendo muy niño, manifestó un [|comportamiento] completamente normal, con un interés marcado por los [|juguetes] mecánicos.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//El reverendo William Ayscough, tío de Newton y diplomado por el Trinity College de Cambridge, convenció a su madre de que lo enviara a Cambridge en lugar de dejarlo en la granja familiar para ayudarla. En junio de 1661, a los dieciocho años, era pues alumno del Trinity College, y nada en sus estudios anteriores permitía entrever o incluso esperar la deslumbrante carrera científica del fundador de la [|mecánica] y la [|óptica]. Por otra parte, el Trinity College tenía fama de ser una institución sumamente recomendable para aquellos que se destinaban a las órdenes. Afortunadamente, esta institución le brindó hospitalidad, [|libertad] y una [|atm]ósfera amistosa que le permitieron tomar contacto verdadero con el campo de la ciencia.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Al comienzo de su estancia en Cambridge, se interesó en primer lugar por la [|química], y este interés, según se dice, se manifestó a lo largo de toda su vida. Durante su primer año de estudios, y probablemente por primera vez, [|ley]ó una obra de matemáticas sobre la geometría de Euclides, lo que despertó en él el deseo de leer otras obras. Parece también que su primer tutor fue Benjamin Pulleyn, posteriormente [|profesor] de griego en la [|Universidad]. En 1663, Newton leyó la Clavis mathematicae de Oughtred, la Geometria a Renato Des Cartes de Van Schooten, la Optica de Kepler, la Opera mathematica de Vieta, editadas por Van Schooten y, en 1644, la Aritmética de Wallis que le serviría como [|introducción] a sus [|investigaciones] sobre las series infinitas, el teorema del binomio, ciertas cuadraturas. También a partir de 1663 Newton conoció a Barrow, quien le dio [|clase] como primer profesor lucasiano de matemáticas. En la misma época, Newton entró en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Huygens y otros, a partir probablemente de la [|edición] de 1659 de la Geometria de Descartes por Van Schooten.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Desde finales de 1664, Newton parece dispuesto a contribuir personalmente al desarrollo de las matemáticas. Aborda entonces el teorema del binomio, a partir de los trabajos de Wallis, y el cálculo de fluxiones. Después, al acabar sus estudios de bachiller, debe volver a la granja familiar a causa de una epidemia de peste bubónica. Retirado con su [|familia] durante los años 1665-1666, conoce un período muy intenso de descubrimientos: descubre la ley del inverso del cuadrado, de la gravitación, desarrolla su cálculo de fluxiones, generaliza el teorema del binomio y pone de manifiesto la naturaleza física de los [|colores]. Sin embargo, Newton guarda silencio sobre sus descubrimientos y reanuda sus estudios en Cambridge en 1667.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//De 1667 a 1669, emprende activamente investigaciones sobre óptica y es elegido fellow del Trinity College. En 1669, Barrow renuncia a su cátedra lucasiana de matemáticas y Newton le sucede y ocupa este puesto hasta 1696. El mismo año envía a Collins, por medio de Barrow, su Analysis per aequationes numero terminorum infinitos. Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollará más tarde: su cálculo diferencial e integral. En 1672 publicó una obra sobre la luz con una exposición de su [|filosofía] de las [|ciencias], libro que fue severamente criticado por la mayor parte de sus contemporáneos, entre ellos Robert Hooke (1638-1703) y Huygens, quienes sostenían ideas diferentes sobre la naturaleza de la luz. Como Newton no quería publicar sus descubrimientos, no le faltaba más que eso para reafirmarle en sus convicciones, y mantuvo su palabra hasta 1687, año de la publicación de sus Principia, salvo quizá otra obra sobre la luz que apareció en 1675.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Desde 1673 hasta 1683, Newton enseñó álgebra y teoría de ecuaciones, pero parece que asistían pocos estudiantes a sus cursos. Mientras tanto, Barrow y el astrónomo Edmond Halley (1656-1742) reconocían sus méritos y le estimulaban en sus trabajos. Hacia 1679, verificó su ley de la gravitación universal y estableció la compatibilidad entre su ley y las tres de Kepler sobre los movimientos planetarios.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Newton descubrió los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666, y durante el decenio siguiente elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis. Desde 1684, su amigo Halley le incita a publicar sus trabajos de [|mecánica], y finalmente, gracias al sostén [|moral] y económico de este último y de la Royal Society, publica en 1687 sus célebres Philosophiae naturalis principia mathematíca. Los tres [|libros] de esta obra contienen los fundamentos de la física y la [|astronomía] escritos en [|el lenguaje] de la geometría pura. El libro I contiene el método de las "primeras y últimas razones" y, bajo la forma de notas o de escolios, se encuentra como anexo del libro III la teoría de las fluxiones. Aunque esta obra monumental le aportó un gran renombre, resulta un estudio difícil de comprender, y parece que Newton quiso que fuera así con el fin «de evitar ser rebajado por pequeños semisabios en matemáticas». Quiso escapar así a las críticas suscitadas por sus textos sobre la luz.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//En 1687, Newton defendió los [|derechos] de la Universidad de Cambridge contra el impopular rey Jacobo II y, como resultado tangible de la [|eficacia] que demostró en esa ocasión, fue elegido miembro del Parlamento en 1689, en el momento en que el rey era destronado y obligado a exiliarse. Mantuvo su escaño en el Parlamento durante varios años sin mostrarse, no obstante, muy activo durante los debates. Durante este tiempo prosiguió sus trabajos de química, en los que se reveló muy competente, aunque no publicara grandes descubrimientos sobre el tema. Se dedicó también al estudio de la [|hidrostática] y de la [|hidrodinámica] además de construir telescopios.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Después de haber sido profesor durante cerca de treinta años, Newton abandonó su puesto para aceptar la [|responsabilidad] de Director de la Moneda en 1696. Durante los últimos treinta años de su vida, abandonó prácticamente sus investigaciones y se consagró progresivamente a los estudios religiosos. Fue elegido presidente de la Royal Society en 1703 y reelegido cada año hasta su muerte. En 1705 fue hecho caballero por la reina Ana, como recompensa a los [|servicios] prestados a Inglaterra.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Los últimos años de su vida se vieron ensombrecidos por la desgraciada controversia, de envergadura internacional, con Leibniz a propósito de la prioridad de la invención del nuevo análisis, Acusaciones mutuas de plagio, secretos disimulados en criptogramas, cartas anónimas, tratados inéditos, afirmaciones a menudo subjetivas de amigos y partidarios de los dos gigantes enfrentados, celos manifiestos y esfuerzos desplegados por los conciliadores para aproximar a los clanes adversos, he aquí en pocas palabras los detalles de esta célebre controversia, que se terminó con [|la muerte] de Leibniz en 1716, pero cuyas malhadadas secuelas se harán sentir hasta fines del siglo XVIII.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Después de una larga y atroz enfermedad, Newton murió durante la noche del 20 de marzo de 1727, y fue enterrado en la abadía de Westminster en medio de los grandes hombres de Inglaterra.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//"No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opinión, me he comportado como un niño que juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra más pulida y una concha más bonita de lo normal, mientras que el gran océano de la verdad se exponía ante mí completamente desconocido."// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Esta era la opinión que Newton tenía de sí mismo al fin de su vida. Fue muy respetado, y ningún [|hombre] ha recibido tantos honores y [|respeto], salvo quizá Einstein. Heredó de sus predecesores, como él bien dice "si he visto más lejos que los otros hombres es porque me he aupado a hombros de gigantes"- los ladrillos necesarios, que supo disponer para erigir la [|arquitectura] de la [|dinámica] y la mecánica celeste, al tiempo que aportaba al cálculo diferencial el impulso vital que le faltaba.// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//**Leibniz, Gottfried Wilhelm**// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Nacionalidad: AlemaniaLeipzig 1-7-1646 - Hannover 14-11-1716// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Nacido en Leipzig en 1646, hijo de un profesor de universidad, se formó en su localidad natal en Filosofía y en Derecho en Jena y Altdorf, doctorándose a los veinte años. Erudito, sus contribuciones tocan los campos de la historia, las [|leyes], la [|lengua], la teología, la física y la filosofía. Al mismo tiempo que Newton descubre el cálculo infinitesimal. Continuador de la filosofía de Descartes, para quien existían dos clases de sustancias -corporal y espiritual-, para Leibniz sólo existe la segunda, que además será simple, indivisible y actuante, es decir, [|motor] de la acción. Establece que el mundo está compuesto de "mónadas", unidades mínimas cargadas de atributos, con capacidad para percibir y actuar. Cada una de ellas es única y refleja en sí [|el universo], configurando a su vez un [|universo] en pequeño. Las mónadas no se influyen o interactúan entre sí, sino que actúan de manera independiente y sin [|comunicación].// <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Por otro lado, Leibniz postula la teoría de la armonía preestablecida, según la cual Dios es el creador de las cosas que hay en el universo, pero son las cosas las que, dotadas de movimiento, se mueven por sí mismas. Defensor de Dios en su "Teodicea", critica los argumentos de Bayle según los cuales un mundo imperfecto, en el que existe el mal, no puede haber sido realizado por un Dios perfecto y bien supremo. Leibniz argumenta que, si bien el mundo no es absolutamente perfecto, sí es el más perfecto de los posibles, como expresa un famoso personaje del "Cándido" de [|Voltaire]. El "optimismo metafísico leibniziano" se formula también preguntas acerca del origen del mal y de la relación entre predestinación y libre albedrío, concluyendo que Dios permite la existencia del mal, si bien no la quiere, y que el destino y la libertad del [|individuo] funcionan conjuntamente. En el campo de la matemática, realizó contribuciones a la teoría de los números, al cálculo mecánico, álgebra, etc. Es el iniciador de la lógica matemática y de la [|topología]. Enuncia el principio según el cual la masa por el cuadrado de la velocidad se mantiene constante. Falleció en Hannover el 14 de noviembre de 1716, siendo el primer filósofo alemán de repercusión universal.//
 * <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.//
 * <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo (seudo)vectorial.//
 * <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse en o a converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.//
 * <span style="background-color: #c5cdb2; color: #3011df; display: block; font-family: 'Comic Sans MS',cursive; text-align: justify;">//Laplaciano//